Matemáticas III

             BLOQUE 1                   

LUGAR GEOMÉTRICO DE LINEAS RECTAS Y CURVAS

el conjunto de todos los puntos del plano que satisfacen ciertas condiciones dadas, y solamente esos puntos, se llama el lugar geométrico de esas condiciones.

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La curva representada por una ecuación dada (referida a un sistema de coordenadas) es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Es decir, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación, en ésta se cumple la igualdad. Generalmente hablaremos de la ecuación de una curva refiriéndonos a lo anterior. También frecuentemente utilizaremos las palabras curva o gráfica como sinónimo de lugar geométrico.

La geometría analítica se dedica al estudio de las propiedades algebraicas y geométricas de los lugares geométricos.

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Geometría analítica

Es el estudio de las propiedades geométricas por medio de operaciones algebraicas sobre símbolos definidos en términos de un sistema de coordenadas. La geometría analítica también se conoce como geometría de coordenadas.

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La idea central de la geometría analítica está basada en el concepto de lugar geométrico, en el sentido de que si conocemos cualquier punto  que pertenece al lugar geométrico dado, entonces las condiciones nos ayudan a encontrar la ecuación del lugar geométrico.

Los siguientes ejemplos aclaran esta idea.

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EJEMPLO 1

Encuentra la ecuación de lugar geométrico cuyos puntos equidistan de los extremos del segmento  siendo  y .

Para esto necesitamos escribir de manera algebraica la condición dada en el problema. Sabemos que si el punto  pertenece al lugar geométrico, la distancia  es igual a la distancia . Algebraicamente, la distancia del punto  al punto  es:

  

Por otra parte, la distancia del punto  al punto  es:

  

El problema nos dice que estas distancias son iguales, entonces:

  

Ahora debemos simplificar esta expresión hasta donde nos sea posible. Empezamos elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:

  

Ahora vamos a desarrollar los binomios que aparecen elevados al cuadrado:

  

Ahora vamos a agrupar todos los términos que tienen como factor la literal  y vamos a factorizarla. De manera semejante con la literal :

  

Geométricamente, tenemos la siguiente situación:

donde . La recta  es la mediatriz del segmento . Es decir, pasa por el punto medio de los dos puntos y además es perpendicular al segmento mismo.

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También podemos resolver el problema anterior de manera más general, lo cual se muestra en el siguiente ejemplo.

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EJEMPLO 2

Encuentra la ecuación de lugar geométrico cuyos puntos equidistan de los extremos del segmento  siendo  y .

Para esto necesitamos escribir de manera algebraica la condición dada en el problema. Sabemos que si el punto  pertenece al lugar geométrico, la distancia  es igual a la distancia . Algebraicamente, la distancia del punto  al punto  es:

  

Por otra parte, la distancia del punto  al punto  es:

  

El problema nos dice que estas distancias son iguales, entonces:

  

Ahora debemos simplificar esta expresión hasta donde nos sea posible. Empezamos elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:

  

Ahora vamos a desarrollar los binomios que aparecen elevados alcuadrado:

  

Ahora vamos a agrupar todos los términos que tienen como factor la literal  y vamos a factorizarla. De manera semejante con la literal :

  

Geométricamente, tenemos la siguiente situación:

donde .

RESOLVER

Un punto  se mueve de tal manera que su distancia al punto  siempre es igual a 4. Encuentra la ecuación de este lugar geométrico

Un punto  se mueve sobre el plano de manera que su distancia al punto  sea siempre la misma que la distancia a la recta . Encuentra la ecuación que representa a este lugar geométrico.

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SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULAR

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (plano cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una función, en geometría analítica, o del movimiento o posición en física, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de ‘cartesiano’ se introdujo en honor de René Descartes, quien lo utilizó de manera formal por primera vez.

Si el sistema en sí es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. El punto de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números enteros de las equis (“x”); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números enteros de las yes (“y”). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:

• Primer cuadrante “I”: Región superior derecha
• Segundo cuadrante “II”: Región superior izquierda
• Tercer cuadrante “III”: Región inferior izquierda
• Cuarto cuadrante “IV”: Región inferior derecha

     El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina “par ordenado” y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos.

   Las coordenadas cartesianas se usaron un ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.

     Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z) (terna ordenada), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.

EJEMPLO

El punto (1,2) no es el mismo que el punto (2,1) como se muestra en la figura 4.3, de la misma manera el punto (-2,-1) no es el mismo que el punto (-1,-2). También los signos de las coordenadas son importantes, (2,1≠) (-2,-1).

La figura 4.2a muestra cuatro puntos (en los diferentes cuadrantes) denotados con P₁, P₂ , P₃ y P₄ . En la figura 4.2b observarás que cada uno de los puntos anteriores se “conecta” a los ejes mediante líneas punteadas perpendiculares a los mismos, esas líneas nos llevan hasta la abscisa (o coordenada x) y la ordenada (o coordenada y) de cada punto.

Así, el punto P₁ tiene por coordenadas al par ordenado (1,2), el punto P₂ tiene por coordenadas al par ordenado (-3,1), las coordenadas de P₃ son (-2,-2) y las coordenadas de P₄ son (3,-1).

En general, todo punto del plano tendrá coordenadas (x,y) y los signos de x y y dependerán del cuadrante en que se encuentre el pun to. A la pareja de números (x,y) se le llama par ordenadoya que x y yno pueden intercambiar posiciones (siguen un orden), porque si así lo hicieran representarían dos puntos  diferente

RESOLVER

1) Grafique cada punto. Diga en qué cuadrante está cada punto.
A (1,2); B(-3,4); C(-3,0); D (0,-5); E (3,-2)

2) Estime las coordenadas de cada uno de los puntos señalados en el plano. Diga en qué cuadrante está situado cada punto. 

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

    Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano Cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano. Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .

EJEMPLO

    La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1)

    Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.

EJEMPLO

     Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

Demostración

    Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por   esta dada por:

(1)

RESOLVER

Calcula la distancia entre los puntos P 1 (7, 5) y P 2 (4, 1)

La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 

SEGMENTOS RECTILÍNEOS

LUGAR GEOMÉTRICO DE LA LINEA RECTA

En geometría un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

Ejemplos de lugares geométricos en el plano:

• El lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, dicha recta o lugar geométricos, es llamada mediatriz y que es la recta que interseca perpendicularmente a ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ en su punto medio.

• La bisectriz es también un lugar geométrico. Dado un ángulo la bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.

• El caso de equidistancia a dos rectas paralelas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo

Pendiente y ángulo de inclinación

Se denomina ángulo de inclinación de una recta al ángulo que determina dicha recta con el sentido positivo del eje x, siendo medido este ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el eje positivo de las x hasta la recta. El ángulo de inclinación de una recta es un valor que siempre está comprendido entre 0 y 180°, además indica su posición en el plano:

• Así si una recta es paralela al eje x su α de inclinación es  de 0°.    
  
                                                                                                                                                     
• Si es PERPENDICULAR al eje x, su ángulo es de 90°.              
  
                                                                                                                                                                  
• Si se inclina hacia la derecha el ángulo es agudo.                                                                                                                                                                                                                                                                                    
• Si se inclina hacia la izquierda su ángulo es obtuso.                                                                                                                                                                           

La pendiente de una recta es la razón entre el avance vertical y el avance horizontal o dicho de otra forma, entre el cateto opuesto al angulo  y el cateto adyacente, es decir:

                                                 

Es claro ver que el ángulo de inclinación(α)está intrínsecamente ligado a la pendiente m, matematicamente esto se puede representar    como:

              

De aquí se dice que la pendiente de una recta equivale a la tangente de su ángulo de inclinación. Entonces dado el ángulo de inclinación podemos calcular la pendiente y viceversa, dada la pendiente se puede calcular el ángulo de inclinación.

Pendiente positiva	Pendiente negativa	Pendiente nula
Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m>0	Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresión analítica m<0	Cuando la recta es constante se dice que tiene pendiente nula, en la expresión analítica m=0

Condiciones de paralelismo y perpendiculares

Rectas paralelas 

Dos rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, esto implica que sus tangentes son iguales, es decir, las pendientes coinciden.

Condición de paralelismo

Dos rectas L1 y L2 son paralelas si y solo si, sus pendientes son iguales m1 = m2

Rectas perpendiculares

Dos rectas perpendiculares tienen ángulos de inclinación que difieren en 90 grados, esto implica que sus tangentes son reciprocas y difieren en signo, es decir,  el producto de sus pendientes es -1

Condiciones de perpendicularidad

Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y solo si  el producto de sus pendientes es -1

m1m2 = -1

Ángulo entre dos rectas

Puestas en el espacio (visualizadas en un Plano cartesiano ), dos rectas pueden ser coincidentes (una sobre la otra, formando una sola), paralelas (sin formar ángulo alguno) o pueden cortarse entre sí .

Pues bien, dos rectas que se cortan entre sí  determinan cuatro ángulos (dos pares de iguales entre sí) .

Uno de los menores de dichos ángulos se define como el ángulo entre dos rectas.

Y podemos obtener la medida de este ángulo tanto por sus pendientes como por sus vectores directores .

En este apartado veremos la representación de dos rectas y la fórmula para hallar el ángulo conociendo sus pendientes.

Antes de seguir, es conveniente repasar el temaEcuación de la recta , para saber qué es una línea recta y su representación en un Plano Cartesiano .

Calcular ángulo entre dos rectas conocidas sus pendientes

Para calcular el ángulo entre dos rectas (l1 y l2) se debe conocer el valor de la pendiente de cada una de dichas rectas (pendientes que se identifican como m1 y m2).

Ahora es conveniente repasar el tema Recta pendientepara entender el conjunto:

Ver: Recta pendiente

Bien, volvamos a la pendiente. Cuando tenemos ese dato, o sabemos cómo obtenerlo, usaremos la fórmula

Lo cual se lee: el valor del ángulo entre dos rectas será igual a la tangente inversa (tan-1) de la fracción

Hagamos un ejercicio de práctica:

Tenemos una recta AB (l1) cuya pendiente m1 = 1/2, que intercepta a otra recta CD (l2) cuya pendiente m2 = –1/3, encuentre el valor del ángulo que forman al cortarse.

Como es una práctica de aprendizaje, veamos la siguiente figura:

Por la magia de Geogebra vemos que el ángulo AED (α) mide 45°, pero para nuestro ejercicio ese valor no lo conocemos, veamos si lo “encontramos” usando la fórmula propuesta anteriormente:

Como conocemos los valores de las pendientes, simplemente reemplazamos:

Usando la calculadora, sacamos tangente inversa de -1 y resulta 45°

Calcular ángulo entre dos rectas definidas por sus coordenadas

Como vimos cuando estudiamos la recta, hay diferentes elementos que sirven para hacer cálculos que la involucren, y uno de esos elementos es su pendiente, como explicamos en el ejercicio anterior.

Veamos ahora el siguiente caso:

Se tienen dos rectas, l1 y l2, cuyas coordenadas son los puntos A(5, 4), B(-3, 0) y C(-1, 3), D(8, 0), respectivamente. Calcular o encontrar el ángulo de la recta que forman al cortarse.

Si graficamos los datos, tenemos

Recuerden que el ángulo de 45°, que vemos en la figura, no lo conocemos, es lo que debemos averiguar.

Aquí tenemos dos rectas (AB = l1 y CD = l2) definidas solo por pares de coordenadas .

Vaya, pero más arriba aprendimos que para calcular el ángulo entre dos rectas (l1 y l2) debemos conocer la pendiente de cada una.

Acá no está ese dato. Pero si tenemos las coordenadas de los puntos que contienen a esas rectas, podemos calcular las pendientes.

Repasar o ver: Pendiente de la recta

Si vimos la materia indicada, sobre calcular la pendiente (m), sabremos que la fórmula para hacerlo es operando con las respectivas coordenadas en la fórmula

Entonces calculemos m1, para l1, cuyos puntos son

Hemos marcado en rojo cada coordenada en su respectivo eje (x e y).

Reemplazamos los valores en la fórmula

Ahora calculemos m2, para l2, cuyos puntos son

Reemplazamos los valores en la fórmula

Y así tenemos que las pendientes son

Valores que son iguales a los del ejercicio anterior en el que nos entregaban inicialmente el dato de las pendientes.

Entonces, a partir de los puntos que contienen las rectas podemos calcular las pendientes de las mismas, lo cual nos permite averiguar el valor del ángulo entre dos rectas .

BLOQUE III

Formas de ecuación de la recta

FORMAS DE LA ECUACION DE UNA RECTA

Entendemos una recta como la distancia más corta entre dos puntos o bien como la trayectoria que describe un punto que se mueve de un lugar “A” a otro lugar “B” en forma directa.

DIFERENTES ECUACIONES DE LA RECTA;

·  Ecuación punto-pendiente de una línea recta.

·  Ecuación de una línea recta dado dos puntos de esta.

·  Ecuación de una línea recta conocida su pendiente y su ordenada al origen.

·  Ecuación simétrica.

·  Ecuación general.

1.- Ecuación Punto-Pendiente de una línea recta.

Es importante saber que, podrías utilizar la ecuación de una línea recta conociendo las coordenadas de un punto por donde pasa y su pendiente. Sea “m” la pendiente de una recta Lı y un punto por donde paso. Así, su ecuación seria;

Donde “X” y “Y” son las coordenadas de cualquiera de sus puntos, “m” es la pendiente y  y son los puntos que ya se tiene conocidos.

2.- Ecuación de una línea recta dado dos puntos de esta.

Una forma de la ecuación de la recta es;   

.

Como , sustituyendo este valor en la ecuación anterior se obtiene, la ecuación de la recta conocidos dos puntos de ella;

Donde y  , son las coordenadas del primer punto conocido,  y   son las coordenadas del segundo punto, y por último,  X y Y, son las coordenadas  de cualquier punto.

3.- Ecuación de una línea recta conocida su pendiente y su ordenada al origen.

Dada una recta “L” cualquiera en un plano cartesiano y conocidas sus pendientes y su ordenada al origen, la ecuación que la representa es de la forma;

Siendo “m” la pendiente de la recta  y “b” la ordenada al origen (es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje “y”. A esta ecuación también se le conoce con el nombre de forma explícita de la ecuación de una recta.

4.- Ecuación simétrica.

Otra forma de representar algebraicamente una recta es mediante su ecuación simétrica o canónica, la cual permite obtener de manera directa las coordenadas de la ordenada y la abscisa al origen.

Sea “L” una recta en el plano cartesiano que no pasa por el origen  y sean  el punto de intersección de “L” con el eje “X” y  el punto de intersección de “L” con el eje “Y”.  La ecuación de la recta se representa así;

   

5.- Ecuación general de la recta.

Es importante destacar que una recta se define algebraicamente como aquella ecuación de primer grado de dos variables que tienen la siguiente forma.

Donde “A”, “B” y “C” son números reales ( coeficientes), “X” y “Y” representan las coordenadas de cualquier punto que intercepta la recta.

Pendiente (m); 

                                               

Ordenada al origen; 

Abscisas al origen; 

Ecuación simétrica o canónica de la recta;  

Punto - pendiente

Si Usted conoce la pendiente m de una rectay las coordenadas ( x 1 , y 1 ) de un punto en la recta, puede escribir la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente.

y – y 1 = m ( x – x 1 )

EJEMPLO

Encuentre la ecuación de una recta con pendiente – 1/2 pasando a través del punto ( – 3, 2).

Aquí, m = – 1/2, x 1 = – 3, y y 1 = 2, así la ecuación es

o

La forma intercepción pendiente es un caso especial de la forma punto-pendiente, donde usamos la coordenada intercepción en y (0, b) como nuestro punto.

Dos puntos

En matemáticas, se utilizan los dos puntos como notación para representar una división. También se utiliza en lógica como abreviatura de la locución “tal que”, siendo ésta una alternativa al empleo de la barra inclinada (/), cuyo significado es el mismo. En este caso debe escribirse un espacio entre las cifras colindantes.^[1]​

En función y conjuntos se usa para abreviar “es” y “razón” Ejemplo 1: La manera habitual de denotar una función f en conjuntos es “f: A→ B” que se lee “f es A incluida en B” o “f de A en B”

Para indicar una escala 3:1 leído como tres a uno, mientras que “::” indica un proporción 3:1 :: 15:5 tres a uno es proporcional a quince a

Pendiente-ordenada al origen

• partir de su forma pendiente-ordenada al origen.
• Cómo encontrar la ecuación de una recta dadas su pendiente y su ordenada al origen.

¿Qué es la forma pendiente-ordenada al origen?

La forma pendiente-ordenada al origen es una representación específica de las ecuaciones lineales. Tiene la siguiente estructura general (redoble de tambores...):

$\Large y=\maroonC{m}x+\greenE{b}$

Aquí, $\maroonC{m}$ y $\greenE{b}$ pueden ser cualesquiera dos números reales. Por ejemplo, estas son ecuaciones lineales en forma pendiente-ordenada al origen:

• $y=2x+1$
• $y=-3x+2.7$
• $y=10-100x$ 
  ¡Pero esta ecuación tiene como último término a x!

  $x$

  $y=\greenE{b}+\maroonC{m}x$$y=\maroonC{m}x+\greenE{b}$

Por otro lado, estas ecuaciones lineales no están expresadas en la forma pendiente-ordenada al origen:

• $2x+3y=5$
• $y-3=2(x-1)$
• $x=4y-7$

La forma pendiente-ordenada al origen es la más destacada de las representaciones que hay para las ecuaciones lineales. Para saber por qué, vayamos más a fondo.

Los coeficientes en la forma pendiente-ordenada al origen

Además de limpia y sencilla, la forma pendiente-ordenada al origen tiene la ventaja de que exhibe las dos características principales de la recta que representa:

• La pendiente es $\maroonC{m}$.
• La coordenada $y$ de la intersección con el eje $y$ es $\greenE{b}$. En otras palabras, la recta se interseca con el eje $y$ en $(0,\greenE{b})$.

Por ejemplo, la recta $y=\maroonC{2}x\greenE{+1}$ tiene pendiente $\maroonC{2}$ y se interseca con el eje $y$ en $(0,\greenE{1})$:

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{\llap{-}1}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{\llap{-}1}$$y$$x$$\greenE{\text{ordenada al origen}=}(0,\greenE 1)$$\large\maroonC{\text{pendiente}=2}$$\large y=\maroonC 2x+\greenE 1$

El hecho de que esta representación dé la pendiente y la ordenada al origen (es decir, la intersección de la recta con el eje $y$) ¡es la razón por la cuál se llama forma pendiente-ordenada al origen!

Simétrica

La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.





a es la abscisa en el origen de la recta.

b es la ordenada en el origen de la recta.

Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general.

                                          Si y = 0 resulta x = a.

                                          Si x = 0 resulta y = b.

Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos:

1.-Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n

2.-Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k

3.-Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx.

Ecuación general de la recta

Partiendo de la ecuación continua la recta



Y quitando denominadores se obtiene:





Trasponiendo términos:



Haciendo



Se obtiene



Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:



La pendiente de la recta es:

Obtener la ecuación normal de la recta, dado su ángulo y distancia al origen

Ejemplo:

Para encontrar la ecuación de una recta, si la longitud de su normal es 8 y su ángulo de inclinación ω = 60º se tienen los dos datos que se requieren para determinarla. Sólo hace falta calcular el valor del coseno y del seno de 60º, lo cual se puede hacer con ayuda de unas tablas o de una calculadora.

Como

Al sustituir los valores correspondientes en la forma que tiene la ecuación normal se obtiene: 

Si se eliminan los denominadores, multiplicando por 2 a todos los términos, se obtiene la ecuación de la misma recta en su forma general: 

Hallar la forma normal de recta, dada su ecuación general

Forma normal
La ecuación de la recta en su forma normal es:

donde A, B, C ∈ R y los coeficientes A, B no pueden ser cero simultáneamente. 

Para obtener esta ecuación basta dividir ambos lados de la ecuación de la recta en su forma general entre  

Ejemplo: 

Encuentra la ecuación en forma normal de la recta: 12 x − 5y + 1 = 0. 

En este ejemplo necesitamos convertir la ecuación de la recta en forma general a la forma normal. 

Para eso basta calcular el valor del denominador:  y dividir ambos lados de la ecuación (en su forma general) por ese valor. 

Entonces, la ecuación simétrica la obtenemos dividiendo entre 13: 

En este primer ejemplo obtuvimos un valor entero para  pero eso no siempre ocurrirá. 

La mayoría de las veces encontraremos raíces de números que no se podrán simplificar. 

En esos casos es mejor dejar indicada la raíz y no escribir decimales. Es más fácil de entender la ecuación mientras menos decimales contenga y es más fácil de escribir la ecuación cada vez. 

Distancia entre un punto y una recta

Frecuentemente en geometría nos encontramos con el problema de calcular la distancia desde un punto a una recta.
La fórmula para calcular la mínima distancia medida desde el punto P(x1, y1) hasta la recta A x + B y + C = 0, es:

Obviamente, suponemos que el punto en cuestión no está sobre la recta, porque en ese caso, la distancia buscada es cero. 

Observa que si el punto P(x1, y1) está sobre la recta, entonces satisface su ecuación y como su ecuación, tanto en forma general como en forma normal, están igualadas a cero, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta en forma normal (que corresponde a fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta) obtenemos cero: 

Ejemplo: 

Calcula la distancia desde la recta 5 x − 12 y − 10 = 0 hasta el punto P(4, 3). 

Sustituimos los datos conocidos en la fórmula: 

Entonces, desde la recta 5 x − 12 y − 10 = 0 hasta el punto P(4, 3) hay 2 unidades de distancia.

Distancia de un punto a una recta

La fórmula para calcular la mínima distancia medida desde el punto  hasta la recta \hspace{0.25em}, es:

  

---

Obviamente, suponemos que el punto en cuestión no está sobre la recta, porque en ese caso, la distancia buscada es cero.

Observa que si el punto  está sobre la recta, entonces satisface su ecuación y como su ecuación, tanto en forma general como en forma normal, están igualadas a cero, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta en forma normal (que corresponde a fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta) obtenemos cero:

  

---

Ejemplo 1

Calcula la distancia desde la recta  hasta el punto .

Sustituimos los datos conocidos en la fórmula:

  

Entonces, desde la recta hasta el punto  hay 2 unidades de distancia.

---

---

Ejemplo 2

¿A qué distancia pasa la recta  del origen?

Este problema es equivalente a la siguiente solicitud:

Calcula la distancia desde la recta  hasta el punto .

Ahora que conocemos los datos, basta sustituir en la fórmula de distancia de un punto a una recta y realizar las operaciones que quedan indicadas:

  

Entonces, la recta pasa a 3 unidades del origen. Para graficar la recta podemos transformarla a la forma simétrica:

  

Ahora podemos graficar la recta y mostrar que la distancia al origen es de 3 unidades:

---

La fórmula para encontrar la distancia de un punto a una recta tiene muchas aplicaciones, sobre todo en problemas de lugar geométrico.

En la siguiente unidad vamos a encontrar el lugar geométrico del punto  que se mueve de tal manera que su distancia a una recta es igual a la distancia a otro punto  que no se encuentra sobre la recta.

Los problemas que podemos resolver con esta fórmula son muy diversos.

Bloque IV

Lugar geométrico de la parabola

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Pero el concepto geométrico de parábola es más amplio, como veremos a continuación.

El siguiente gráfico muestra una “parábola acostada”:

Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo si nosotros graficáramos en algún programa de computadora el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación $x^2+2xy+y^2+2x–2y=0$, obtendríamos la siguiente gráfica:

Para reconocer que esa gráfica efectivamente responde a la definición, características y expresión analítica de una parábola, debemos usar autovalores y autovectores. (Esto lo veremos más adelante en la Unidad 8: Aplicaciones de la diagonalización)

Definición de parábola

Dados un punto $F$ (foco) y una recta $r$ (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.

Simbólicamente:

$$P=\left\{P\left(x,y\right)|d\left(P,r\right)=d\left(P,F\right)\right\}$$

Observen que estamos definiendo la parábola como un conjunto de puntos que verifican cierta propiedad geométrica, no como la gráfica de una función cuadrática (que es como ustedes la conocían hasta ahora).

El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.

El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice.

Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vértice son $V\left(0,0\right)$, las del foco $F\left(c,0\right)$ y la recta directriz está dada por $r:x=–c$. Las coordenadas de un punto genérico $Q$ que pertenece a la directriz son $\left(–c,y\right)$.

Ahora con estos datos vamos a deducir la ecuación. Por definición:

$$d\left(P,r\right)=d\left(P,F\right)$$

Distancia entre un punto P y la directriz:

Distancia entre un punto P y el foco:

Las igualamos según lo establece la definición:

Donde los vectores y sus módulos son:

$$\overrightarrow{PQ}=\left(–c–x,0\right)$$

$$\overrightarrow{PF}=\left(c–x,–y\right)$$

Ahora sustituyendo y operando llegamos a:

$$\sqrt{c^2+2cx+x^2}=\sqrt{c^2–2cx+x^2+y^2}$$

$$c^2+2cx+x^2=c^2–2cx+x^2+y^2$$

$$y^2=4cx\left(c\ne 0\right)$$

Que es la ecuación canónica de la parábola con $V\left(0,0\right)$ y eje focal $y=0$ (eje $x$).

Donde si,

$c>0\Rightarrow$ Las ramas de la parábola apuntan hacia la derecha

$c<0\Rightarrow$ Las ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda

Análogamente a lo desarrollado para una parábola con eje focal horizontal, se puede hacer la deducción para las parábolas con eje focal vertical. Si permutamos variables sobre la expresión canónica tenemos la expresión canónica de la parábola vertical:

$$x^2=4cy$$

Ecuación canónica de la parábola con $V\left(0,0\right)$ y eje focal $x=0$ (eje $y$).

Donde si,

$c>0\Rightarrow$ Las ramas de la parábola apuntan hacia la arriba

$c<0\Rightarrow$ Las ramas de la parábola apuntan hacia la abajo

Coordenadas del foco: $F\left(0,c\right)$

Ecuación de la directriz $d:y=–c$

Ecuación ordinaria de la parábola

Consideremos una parábola cuyo vértice $V\left(\alpha ,\beta \right)$ no coincide con el origen del sistema $xy$ :

¿Cómo sería la ecuación de la parábola en el sistema de referencia $xy$? No sabemos responder esto por el momento. Pero si armamos un nuevo sistema cuyo centro coincida con $V$, la ecuación canónica en este nuevo sistema sería:

$$y^{\prime 2}=4c{x}^{\prime }$$

Debemos realizar una traslación de ejes para poder tener la ecuación escrita en el sistema $xy$

¿Qué coordenadas tiene el punto $P$ respecto de cada sistema?

El punto es el mismo pero estamos modificando el sistema de referencia:

• Coordenadas de P en sistema $x^{\prime }{y}^{\prime }$
• Coordenadas de P en sistema $xy$

La relación entre los dos sistemas de coordenadas es la siguiente:

$$x^{\prime }+\alpha =x$$

$$y^{\prime }+\beta =y$$

O reordenando:

$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x–\alpha \\ y^{\prime }=y–\beta \end{array}$$

Éstas son las ecuaciones de traslación de ejes. 

Si reemplazamos las ecuaciones de traslación en la expresión $y^{‘2}=4c{x}^{\prime }$ obtenemos la ecuación en el sistema original:

$${\left(y–\beta \right)}^2=4c\left(x–\alpha \right)$$

Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice $V\left(\alpha ,\beta \right)$ y eje focal paralelo al eje $x$.

Análogamente:

$${\left(x–\alpha \right)}^2=4c\left(y–\beta \right)$$

Es la ecuación de la parábola con vértice $V\left(\alpha ,\beta \right)$ y eje focal paralelo al eje $y$.

¿Cómo nos damos cuenta si el eje focal es vertical u horizontal? Observando cuál de las variables está elevada al cuadrado:

• Si $y$ está al cuadrado, entonces es horizontal.
• Si $x$ está al cuadrado, entonces es vertical.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la parábola de directriz $x=4$ y foco $F\left(–2,0\right)$.

Resolución

Es conveniente realizar una figura de análisis que represente los datos del enunciado:

El valor absoluto de $c$ es la distancia del vértice al foco.

$$\left|c\right|=d\left(V,F\right)$$

El vértice está sobre el eje focal y a la misma distancia del foco que de la directriz:

$$VYo=\left(\frac{–2+4}{2},0\right)=\left(1,0\right)$$

Eje focal: eje $x$

Como el eje es horizontal la ecuación tiene la forma:

$${\left(y–\beta \right)}^2=4c\left(x–\alpha \right)$$

$${\left(y–0\right)}^2=4c\left(x–1\right)$$

Falta calcular el valor absoluto de $c$.

$$\left|c\right|=d\left(F,V\right)=3$$

Como el foco está a la izquierda del vértice entonces $c=–3$.

Entonces queda:

$$y^2=–12\left(\mathrm{x–}1\right)$$

$$y^2=–12\left(x–1\right)$$$$$$

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$$$$Bloque V

LUGAR GEOMÉTRICO DE LA ELIPSE

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. 

 

 

Elementos de la elipse: 

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 

2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. 

3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. 

4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 

5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. 

6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal. 

7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. 

8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. 

9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. 

10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. 

11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría. 

Relación entre la distancia focal y los semiejes 

 

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$$$$Ecuación del elipse

La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos, F y F' , llamados focos, es constante.

Elipse

Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma.

Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:

d(P,F)+d(P,F')=2⋅a

Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F' respectivamente.

Elementos de la elipse

Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse:

1. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.
2. Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.
3. Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos.
4. Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
5. Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
6. Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
7. Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a.
8. Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple b=a2−c2−−−−−−√ 
9. Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x

Ecuación de la elipse

Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por:

(x−x0)2a2+(y−y0)2b2=1

Donde:

• x0 , y0 :  Coordenadas x e y del centro de la elipse
• a : Semieje de abcisas
• b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a.

Ejemplo

Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje mayor horizontal mide 10 y su distancia focal mide 6.

Ver solución

Ecuación de eje mayor vertical centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical viene dada por:

(x−x0)2b2+(y−y0)2a2=1

Donde:

• x0 , y0 :  Coordenadas x e y del centro de la elipse
• a : Semieje de abcisas
• b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b > a.

Ejemplo

Determinar la ecuación de una elipse de eje mayor vertical centrada en el punto P(-1,2) y cuyos ejes miden 20 y 16.

Ver solución

Excentricidad

La excentricidad nos permite conocer lo alejados que están los focos del centro de la elipse.

e=1−b2a2−−−−−−√

Observa que 0 < e < 1. Cuando e ≈ 0 los focos se superponen y la elipse es una circunferencia.

Ejemplo

Dada la siguiente ecuación de una elipse determina su excentricidad.

x216+y24=1

Ver solución

Experimenta y Aprende

0

5

10

15

20

25

-5

-10

-15

-20

-25

0

5

10

-5

-10

a = 9.00

b = 5.00

O

F

F

P

Ecuación
(x-2)2/9.002+(y-5)2/5.002=1
e=1−b2a2−−−−−√=0.83
d(P,F) = 4.50 | d(P,F') = 13.50

Ecuación de la elipse no centrada en el origen con el semieje mayor horizontal

La figura muestra una elipse no centrada en el origen con el semieje mayor horizontal. Puedes arrastrar los deslizadores para cambiar el valor de a y el valor de b (longitud de los semiejes). De igual forma puedes mover el punto origen O (x0 , y0). Observa como se calcula su ecuación y su excentricidad a partir de estos parámetros.

A continuacíon desliza el punto P a lo largo de la elipse y comprueba que, independientemente de donde se encuentre, la suma de las distancias desde dicho punto hasta cada uno de sus focos (F y F') es siempre la misma y cumple que:

d(P,F) + d(P,F') = 2a

Nota. En la animación siempre el valor de a es mayor o igual que b para que el semieje mayor sea horizontal. 

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